He encontrado un par de fallos (mios, mecagonlamarsalada)

1. La primera funcion no logre hacerla funcionar de nuevo, asi que la quite y lo hice desde el propio main... con el codigo que te mando ahora funciona perfectamente... tanto con el delete[] como con el delete!!!

2. El otro problema es cuando inicializo el puntero tal que asi: p="Puntero cabron". El cout lo muestra... pero el delete lo revienta. Con el codigo que te mando ahora, me funciona (igual actualizar el lxle sirvio, yo ya no se na jaja)

#include<iostream>
using namespace std;
 
int contadorStrings(string s)
{
    int cuenta=0;
    for(int a=0;s[a]!='\0';a++)cuenta++;
    return cuenta;
};
 
int main()
{
    string texto="Pruebas de funcionamiento";
    cout<<texto<<" : "<<contadorStrings(texto)<<endl;
 
    char *d=NULL;
    d=new char[contadorStrings(texto)];
 
    // Si en lugar de la secuencia for inferior pongo p="texto"; el delete rompe
    for(int a=0;texto[a]!='\0';a++)
    {
        d[a]=texto[a];
        cout<<texto[a]<<" ";
    };
    d[contadorStrings(texto)]='\0';
 
    cout<<"\nEl contenido del puntero es: "<<d<<endl;
 
    delete[] d;
    return 0;
 
};
 
 

Te falta pedir memoria para el 0 final.
No es suficiente contar los caracteres que quieres copiar desde el string original, porque en verdad requieres 1 mas. Hazme caso y cuando pidas memoria pide 1 mas que los caracteres visibles. La linea 25 de tu programa esta escribiendo en un espacio de memoria que no es tuyo. Hazlo tuyo pidiendo memoria para 1 mas en la linea 17.

Te paso un documento que te irá muy bien para aprender a manejar la memoria. Es para C, pero cómo C++ está basado y es muy parecido en ese aspecto te funcionará igual para saber cómo maneja éste último la memoria.

Ups, que no pegué la dirección. Aquí va: http://www2.elo.utfsm.cl/~lsb/elo320/clases/c3.pdf