Yo guardaría todos los nombres, los ordeno y cojo los 100 primeros.

¿C o C++? En C++ eso se hace rápido con con una estructura map:

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <map>
 
using namespace std;
 
int main
{
    map<string,bool> Nombres;
    ifstream archivo("Nombre.txt");
    string aux;
 
    if (!archivo) throw "Archivo no encontrado...";
 
    while (archivo.good())
    {
         getline(archivo,aux);
         Nombres[aux] = true;
    }
 
    string Nombres[100];
    int i = 0;
 
    for (map<string,bool>::iterator it = Nombres.begin(); it != Nombres.end(); it++)
    {
         cout<<"Guardando: "<<it->first<<endl;
         Nombres[i++] = it->first;
    }
    return 0;
}

Bueno en C se complica un poco más el asunto al no poder usar contenedores STL. Pero tampoco mucho más.

El algoritmo ya lo tienes tú hecho realmente:

1º Leer los primeros 100 nombres.
2º Lo ordenas alfabeticamente.
3º ¿No quedan más nombres por leer? Terminado.
4º Lee el siguiente nombre.
5º ¿Va después del último nombre?. Si es así volvemos al paso 3.
6º Coges la posición donde debería ir, sobreescribes el nombre que estaba antes. Vuelves al paso 3.

El paso 6º puede ser un poco más complejo de ver, lo pongo con más detalle:

1º ¿Va antes del primer nombre? Devolvemos esa posicion y ya hemos terminado.
2º Recorremos el array desde 1 hasta 100.
3º ¿Va antes del nombre actual? Terminamos el bucle y devolvemos la posición actual.
4º En caso contrario volvemos al paso 2.


Todo esto puede sonar un poco complicado así leído, por eso te invito a que intentes ir escribiendo código ya. No te lo pienses mucho.