Código
char letra = ((CharSequence) txtIntroducir).charAt(0);
No puedes hacer una conversión de esta manera:
Código
(CharSequence) txtIntroducir)
tampoco tiene sentido que tomes el primer carácter en ese momento porque la TextField ni siquiera tiene texto, tendrías que pedir el primer carácter después de presionar el botón "probar".
luego verificas si hay al menos un carácter y lo conviertes a char así:
Código
char letra; if( txtIntroducir.getText().length() > 0 ) letra = txtIntroducir.getText().charAt(0);
También veo un error aquí:
Código
if(evento.getSource() == btncomprobar ){ } a = txtIntroducir.getText(); palabra.indexOf(a,5);
No se supone que el código tiene que estar dentro del condicional ?, sino entonces para qué pones el condicional?.
A parte de eso esta linea no tiene sentido:
Código
palabra.indexOf(a,5); //MAL int indice = palabra.indexOf(a,5); //BIEN
El metodo indexOf retorna un valor, pero tú no cachas ese valor con ninguna variable
Luego:
Código
if((letra == palabra.indexOf(a,5)))
indexOf retorna un int no un char
Saludos