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¿Alguien sabe cómo solucionar una ecuación del tipo x^x = k, con k y x ∊ ℝ?

Saludos.

¿Te vale a fuerza bruta?

Mejor que use el Caín pasando la ecuación por un NT de windows...

Con logaritmos?

x=log(k)/W(log(k))

Encontré esto en internet, lo que no se es que significa W.

Por si te vale de algo:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^x%3Dk

Un saludo

Hice la ecuacion con el mathematica y el resultado seria x=Log[k]/ProductLog[Log[k]] al parecer productlog es una funcion que integra la W de lambert

Yo también usé el WolframAlpha y busqué la función logaritmo producto, pero no llegué a entenderla. Ahora he visto la explicación para resolver esa ecuación (https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function#Example_2) en el mismo artículo de Wikipedia. Ya solo me queda entender la función misma.

Saludos.

exacto... para resolver una ecuación exponencial se implementa la siguiente propiedad, que es que teniendo la función f(x):a^b =x su inversa es f(x):log(a)x=b...

por lo cual dependiendo que datos tienes puedes optar por una u otra. saludos

(agrego) siempre y cuando sea la base a un R>0 y !=1

Si intentas resolverla así, te darás cuenta de que llegas a:
              x = log_x k

y eso no se puede resolver como una exponencial normal.

¡Buenas!

Tendrías que utilizar métodos numéricos para aproximar la raíz: Bolzano, Newton, método de la tangente, método de la secante... y como ya he dicho solo obtendrías un valor aproximado de la raíz.

El problema de la función es que la inversa no puede expresarse de la forma habitual utilizando funciones conocidas (senos, cosenos, logaritmos, exponenciales...), en estos casos se suele trabajar con lo que se llama función implícita, que te da las propiedades de la función inversa en función de las derivadas (explicado de forma muy básica). Así que para calcular el valor de la raíz, lo único que te queda son los métodos iterativos de aproximación de las raíces.

¡Saludos!

es mediante esa propiedad se resuelven las funciones exponenciales...  este caso particular de ambas variables iguales como bien dice do-while, uno de los métodos empleados (y si se fijan es indicado en el link...) mediante el desarrollo de series.

si comienzan a derivar dicha función, verán que lo primero que se aplica es el logaritmo natural a ambos miembros... ln x^x = lnk luego por la propiedad indicada xlnx=lnk y así siguen...
saludos
 

Lo que entendí es que preguntas lo siguiente:

Como se resuelve una ecuación de una variable elevada a la misma variable, donde el resultado k y la variable x son parte de los números reales

Bien, pues se supone que los logaritmos tienen la propiedad 2Ln(x) = Ln(x^2), de tal manera que tu ecuación se puede poner así:

1º Ln(x^x) = Ln (k)
2º xLn (x) = Ln(k)
3º x = Ln (k) / Ln (x)  

el problema es que la ecuación sigue siendo dependiente de x para obtener x, ergo no tienes nada

Se supone que la ecuación esta resuelta cuando dejas una x sola.



 
 

no... la ecuacion no está resuelta cuando dejas una x sola...

la ecuacion está resuelta cuando queda SOLO una x igualada con el problema XD si no jamás podrás dar con la respuesta...

es como decir x=log(x) y dejar eso hasta ahí... no tiene sentido, tu intencion es saber cuanto vale x, demostrando de una manera lingüistica seria algo como "tiempo: es el periodo de tiempo pasado entre 2 eventos" no puedes definirlo con el mismo...

Jeje, mira si fuera otro tipo de problema te daría la razón... no sé quizá estoy entendiendo mal, pero según yo, ese problema esta diseñado para demostrar la propiedad de los logaritmos, así que solo hay que despejar una x y ya.

Por ejemplo si fuera un problema de aplicación, o hubiera algún diferencial por ahí.. pero es solamente álgebra... De todas maneras si se quiere hacer mas se tiene que hacer esto primero, ya luego puedes hacer otras cosillas o aplicar el numero e para eliminar los ln pero llegaras de nuevo a x^x

ya será cosa de que el usuario que inicio el post aclare un poco mas.

saludos !

es que el usuario está buscando la solución a la ecuación siendo (alguien dijo por allá atrás) x=log(k)/W(log(k)) la más aproximada, fíjate como ninguna de los valores involucrados es x,

por otro lado dices

y sin importar el problema, puedes decir que el problema está resuelto, pero no la ecuación XD

obsérvalo así

x^x=k
k=256
entonces cuanto es x?
según tu solución propuesta
x = Ln (k) / Ln (x) 
entonces
x = Ln (256) / Ln (x) 

y con esa solución no podemos saber el valor de x, es decir, la ecuación no se resuelve dejando una única x sola, para poder resolverse la ecuación no debe ser dependiente de ella misma

El detalle es que la variable dependiente es la K no la X...

si me dices que k es variable dependiente de x, entonces es lo mismo XD la ecuación se resuelve si y solo si está solamente x a un lado de la ecuación completamente despejada XD

por cierto, en este caso la k no es variable,  es claramente una constante, incluso haciendo uso de la letra "k" que en matemática por lo general representa "constante"

Si x es variable K no puede ser constante... y no necesariamente k tiene por que ser constante, en un principio esta definido solo como un numero real.

Yo dije que la ecuación estaba resuelta no que estuviera despejada la x

No es posible resolver el problema como tú quieres, por cierto; Amenos claro que se ponga en un contexto de calculo, con intervalos definidos etc... pero así con álgebra sólita no... o quizá sí pero desconozco.. mi aporte esta hecho. bye

no está esuelta ni mucho menos... por favor Sin Nick xD haz mirado mi respuesta fuera de contexto, me cito a mí mismo:


ahí no estás derivando nada! XD
el desarrollo a grosso modo sería el siguiente:
si
  k = x^x             (el sentido de la ecuación no cambia su resultado)
lnk = lnx^x          (aplicamos logaritmo natural o neperiano a ambos terminos)
lnk = xlnx            (por la propiedad de lna^b=blna, también se ve la relación inversa de un término exponencial y uno logarítmico.. ver ambas curvas para más claridad)

ya pudimos quitar el exponente y tener un producto, ahí ya podemos aplicar la propiedad de producto de derivadas... si ab->a'b+ab')

k'/k = 1lnx+x(1/x)  (simplificamos)
k'/k = lnx+1
kk'/k = k(lnx+1)  (aplicamos k a ambos términos para obtener solamente k')
   k' = k(lnx+1)    (ahora podemos reemplazar k...)
   k' = x^x(lnx+1)  
esta es la derivada de la función k, el mismo resultado que en wolfram.

ahora bien y citando a la wiki...
luego, también de la wiki (y tan solo a modo de ejemplo, para entender la relación entre la derivada y la solución de las raíces de una ecuación)

por lo cual por algún método de series (como indicó do-while, y como se encuentra el desarrollo en wolfram) mediante infinitos términos puede "acercarse" al valor de la raíz de la ecuación, intentando tener un resultado "finito"


ahora bien, bien pudieras hacer una iteración volcando a una tabla x | k y graficarla... es también una solución! XD

un cordial saludo

¡Hola!
Me propusieron este problema, a través del enlace para resolverlo.

Me pareció interesante, así que traté de resolverlo.

Soy estudiante de matemáticas, y he hecho un pdf con el razonamiento y las pautas para resolverlo, que he subido a mega.

(Es un fichero pdf, así que no veo oportuno chequearlo con virustotal. Si fuese necesario lo agrego de inmediato ;-))

https://mega.co.nz/#!P1IDDIRD!BZ01bKcUMI2DUr_xaEL ZVsonyzgU9Gsbd5urwQ KfNeQ (https://mega.co.nz/#!P1IDDIRD!BZ01bKcUMI2DUr_xaEL ZVsonyzgU9Gsbd5urwQ KfNeQ)

PD: Para las ecuaciones de grado 3, hay un algoritmo para sacar las raices http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/numerico/raices/raiz_cubica.html, que no he añadido en el ejemplo en C, pues no era el objetivo de esto.

Ni siquiera vi tu respuesta. Qué te hace pensar que lo hice?... de donde sacas que se esta derivando?

Me parece que el problema es más sencillo de lo que se están planteando... yo no vi ningún diferencial, ni integral ni nada de eso, por eso no resolví de esa forma.

solo veo que x y K son variables pertenecientes a los números reales... por lo tanto solo hay que eliminar el exponente y ya... es un ejercicio que ponen típicamente los maestros de matemáticas para poner en jaque a los alumnos ya que esa propiedad no es muy común...

saludines... de todas maneras esta interesante el tema.

??? wtf??? ya esto tiene que ser trolleo sinceramente! XD

La derivada no tiene una relación directa con la solución, de hecho, tal y como estás haciendo, no vas a llegar a nada.
La única relación a la que podrías llegar derivando muchas veces es a una serie de Taylor, y una ecuación de un grado mayor que 6, lo que sería una locura para hallar solución.
Te recomiendo leer mi pdf, donde sale una resolución explicada y completa.

Tonces queda resuelto el problema con:


No? xD

una locura LittleJ... que gracias a Mátemáticos podemos aplicarla a infinidades de soluciones jejej

en fin luego veo el pdf... igualmente todas las "fórmulas" (inclusive las de las tablas de multiplicar, las de derivadas directas etc etc) salieron de deducciones, es más  hay una "fomulita" para hacer la derivada de un exponente, pero siempre opto por indicar el camino más largo que sea más entendible en vez de aplicar algo de "memoria".


con respecto a ello... bueno, yo propuse de entrada la propiedad (herramienta necesaria en el desarrollo del ejercicio) luego al indicar con Do-While la opción de series (para ello ha yque derivar...) comencé primero a obtener una equación equivalente. Más tarde, cuando simplemente "despejaste" un lnx hacia el otro lado de ella ( :huh:) opto por completar el desarrollo de la obtención de su derivada.

Con ella y mediante series se resuelve. En el mismo wolfgram está la solución si clickean a la derecha... ahora bien, que luego mediante una "fórmula" se pueda resolver la ecuación, excelente, por ello voy a leer el documento adjunto, pero deben saber que sólo sería un resumen de un desarrollo más grande.

Ahora bien, también indiqué que simplemente como "solución" puede tomarse una tabla x|k, lo cual es correcto, y al graficar la se obtiene otra solución también genuina. todo depende de que se necesite.

la verdad engel lex, lo tomo igual... en fin, pocas ganas dá el brindar una solución así. un cordial saludo

Muchas gracias a todos por responder, y a @LittleJ por explicar este método en el PDF. De momento, con las matemáticas que manejo me costaría muchísimo llegar a esta solución, y me quedo con las nociones generales para cuando empiece este trimestre a dar funciones más a fondo.

Saludos.