Si, por su puesto. Pero antes de nada tienes que arreglar ese agujero de seguridad tan gordo
(Sql injection de 1er y 2do nivel...).
Puedes elegir entre usar los
filtros de saneamiento junto a la función
filter_input() (creados explicitamente para filtrar/limpiar el input) o usar la función
preg_replace() (que es customizable y puedes elegir que carácteres dejar y cuales quitar). Utiliza cualquiera de estas dos opciones siempre que necesites trabajar con user input.
Te recomiendo que empieces a usar
mysqli (más facil que pdo) con los
prepared statement. Aunque puedes seguir usando query (con mysqli mejor) para consultas normales tipo "SELECT * FROM table" o "INSERT INTO table (col1, col2, col3) VALUES ('noget', 'nopost', 'nouserinput')"
Ahora sí, necesitas crear otra página con un script php que realice la petición a la base de datos en busca de las surgerencias (no olvides limpiar el GET/POST).
AJAX te permite hacer peticiones al servidor una vez la página se ha cargado y no necesita volver a cargarse. Te permite cargar contenido de manera dinamica, facil y sencilla. La sintaxis es muy sencilla, hechale un vistazo a la documentación (aunque está en ingles). Un ejemplo para lo que necesitas:
$.ajax({
method: 'GET',
url: '/script.php', // url del script
data: $( '.input-texto' ).val(); // coger el valor del input
}).done(function (data) {
var target = '.la-lista-de-sugerencias';
// muestra la lista
$( target ).show();
// agrega las sugerencias a la lista
$( target ).replaceWith( data );
});
Tienes dos opciones, aprender y hacerlo por ti mismo o ir a lo facil y buscarlo
ya hecho 
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