1) La funcion mail() actua como cliente de un servidor de correos saliente.

2) Un dominio local, pues es eso, un dominio del cual se conoce solo localmente, un dominio contratado es un dominio el cual probablemente este en los servidores reconocidos por la IANA el cual casi todos los servidores DNS caseros y de ISPs incluyen para delegar tu peticion. En otras palabras, casi todo el mundo reconoce tu dominio con la IP que tu asignes.

3) Cuando dices que queires mandar correos desde Gmail te refieres a que quieres mandar correos de tu direccion de Gmail? O que quieres usar el servidor de correos saliente de Gmail? En fin, para los dos vas a necesitar configurar tu servidor de correos saliente para que actue de relay a Gmail, para eso tienes que usar el smarthost de gmail. En hmailServer hay una opcion que dice SMTP Relayer: