No debes declarar ningún id a la sesión ya que php los organiza automáticamente, fijate que cuando te crea la cookie del phpsessid tiene un formato aleatorio que identifica quien eres, ahora desde php no debes hacer nada ya que por defecto se utilizará la sesión del mismo usuario... un ejemplo..

<?php
session_start();
if(!$SESSION['nombre']){
 $SESSION['nombre'] = $_GET['nombre'];
 echo 'Estableciendo sesión...';
}else{
 echo 'Tu nombre es: '.htmlspecialchars($SESSION['nombre'], ENT_QUOTES);
}
?>

Si lo abres desde dos exploradores diferentes como por ejemplo IE y FF verás que a cada explorador se le asignará una cookie llamada phpsessid que solo servirá para identificar que sesion se está usando con un contenido aleatorio, dentro del servidor en el directorio temporal se alojan estas sesiones en formato de texto plano con el contenido de cada variable o constante declarada, ahora en un explorador ejecutas test.php?nombre=whk1 y en el otro explorador test.php?nombre=whk2 verás que cuando refresques ambos te responderán diferente porque cada explorador ha iniciado una sesión diferente y el que ya lo haya iniciado se queda con esos datos asi que puedes hacer una función globalizada pensando en un solo usuario y eso funcionará para todos a la ves.

Ahora si usas session_destroy() estarás terminando solamente con la sesión del usuario que visualiza esa web no la de los demás y eliminará todos los datos que escribiste en su sesión.

Dale un vistazo a esto:
http://cl.php.net/manual/es/book.session.php

Ojo, no es que cada navegador solamente tenga sesiones diferentes  sino que cada sesion iniciada tiene un identificador diferente, o sea dos personas con el mismo explorador obtendrán sesiones diferentes, esto es independiente del explorador solo te lo habia dado de ejemplo, si borras la cookie phpsessid te volverá a crear una sesión totalmente nueva.