A mi no me aparece ningún BSOD. He probado el programa compilando en modo Debug y Release, terminando el programa de forma normal, terminando de forma abrupta (usando el botón detener en VS), y cerrando Visual Studio. Cero pantallazos azules.

Según un comentario en el siguiente hilo, el cual casualmente es de un usuario que usa Windows 7 como tú, dicen que tras haber visualizado la información de depuración del volcado de memoria del BSOD, han llegado a la conclusión de que se trata de un bug de ese sistema operativo Windows 7...

• https://social.technet.microsoft.com/Forums/en-US/1f847268-e38d-4ac3-a1ea-f41069604fd0/bsod-when-interrupting-ping?forum=w7itpronetworking

De todas formas en la documentación de Microsoft explican que se trata de un fallo por parte de algún driver instalado en el sistema (un driver de dispositivos de red, supongo, o quizás incluso pueda ser culpa de algún driver o servicio en segundo plano de algún antivirus que puedas tener en ejecución mientras haces ping), y que ocurre cuando el driver no puede liberar páginas (páginas de memoria) bloqueadas despues de una operación de entrata y salida o input/output (I/O), es decir, de una operación de escritura y lectura de las páginas bloqueadas...

• https://docs.microsoft.com/en-us/windows-hardware/drivers/debugger/bug-check-0x76--process-has-locked-pages

Hay te explican además una posible solución.

En caso de que no sea culpa de tu antivirus, yo te propongo otra posible solución: espera a que la operación de ping finalice antes de cerrar completamente el programa.

He revisado tu código y hay varias cosas imperfectas, desde el modo en el que posicionas el Form en la esquina de la barra de tareas mediante un búcle Do While (cuando lo puedes hacer con una simple operación matemática), hasta la implementación del BackgroundWorker que tira excepciones del tipo InvalidOperationException por intentar acceder a un control desde otro thread distinto desde el que fue creado. En fin, le hice algunas modificaciones y ha quedado de la siguiente manera; pruébalo a ver si con suerte te soluciona el problema en tu PC...

Imports System.ComponentModel
Imports System.Threading
 
Public NotInheritable Class Form1
 
    Private ReadOnly Property HostNameOrAddress As String
        Get
            Return Me.TextBox2?.Text
        End Get
    End Property
 
    Private Sub Form1_Load(ByVal sender As Object, ByVal e As EventArgs) Handles MyBase.Load
        Dim scr As Screen = Screen.FromHandle(Me.Handle)
        Me.Location = New Point((scr.WorkingArea.Right - Me.Size.Width), (scr.WorkingArea.Bottom - Me.Size.Height))
 
        With Me.BackgroundWorker1
            .WorkerReportsProgress = True
            .WorkerSupportsCancellation = True
 
            .RunWorkerAsync()
        End With
    End Sub
 
    Private Sub BackgroundWorker1_DoWork(ByVal sender As Object, ByVal e As DoWorkEventArgs) Handles BackgroundWorker1.DoWork
        Dim bgw As BackgroundWorker = DirectCast(sender, BackgroundWorker)
 
        Do Until bgw.CancellationPending
            Dim elapsed As Double = Me.MedidorPing(Me.HostNameOrAddress, TimeSpan.FromSeconds(5))
            Dim userState As String
            If (elapsed.Equals(Double.NaN)) Then
                userState = "Ping request timed out."
            Else
                userState = String.Format("{0:F0} ms", elapsed)
            End If
 
            bgw.ReportProgress(Nothing, userState)
        Loop
        bgw.ReportProgress(100, Nothing)
    End Sub
 
    Sub BackgroundWorker1_ProgressChanged(sender As Object, e As ProgressChangedEventArgs) Handles BackgroundWorker1.ProgressChanged
        Me.TextBox3.Text = CStr(e.UserState)
    End Sub
 
    Private Sub BackgroundWorker1_RunWorkerCompleted(sender As Object, e As RunWorkerCompletedEventArgs) Handles BackgroundWorker1.RunWorkerCompleted
        Me.Close()
    End Sub
 
    Private Sub HexCheckBox1_CheckedChanged(ByVal sender As Object) Handles HexCheckBox1.CheckedChanged
        Me.TopMost = Me.HexCheckBox1.Checked
    End Sub
 
    Private Sub HexButton1_Click(sender As Object, e As EventArgs) Handles HexButton1.Click
        DirectCast(sender, HexButton).Enabled = False
 
        If (Me.BackgroundWorker1.IsBusy) Then
            Me.BackgroundWorker1.CancelAsync()
 
            Do While Me.BackgroundWorker1.IsBusy
                Application.DoEvents()
                Thread.Sleep(TimeSpan.FromMilliseconds(100))
            Loop
        End If
    End Sub
 
    Private Function MedidorPing(ByVal hostNameOrAddress As String, timeout As TimeSpan) As Double
 
        If String.IsNullOrEmpty(hostNameOrAddress) Then
            Return Double.NaN
        End If
 
        If Not My.Computer.Network.IsAvailable() Then
            Return Double.NaN
        End If
 
        Dim sw As New Stopwatch()
        Try
            sw.Start()
            My.Computer.Network.Ping(hostNameOrAddress, CInt(timeout.TotalMilliseconds))
            sw.Stop()
            Return sw.Elapsed.TotalMilliseconds
 
        Catch ex As Exception ' ArgumentNullException, InvalidOperationException, PingException or SocketException
            Return Double.NaN
 
        End Try
 
    End Function
 
End Class