Public Class Form1
 
    'Aqui declaras tu objeto publico
    Public ob As New Deportista
 
 
    Private Sub btnaceptar_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles btnaceptar.Click
        Try
            If (txtname.Text = "" And txtapellido.Text = "" And txtdeporte.Text = "" And txtedad.Text = "") Then
                MsgBox("No lleno los datos..")
            Else
 
                'Quitas esta declaracion local por que tu objeto necesita ser
                'publico para llamarlo desde otra clase 
 
                'Dim ob As New Deportista(txtname.Text, txtapellido.Text, txtdeporte.Text, txtedad.Text)
 
                'Dim ob As New Deportista()
                ob.insertar(txtname.Text, txtapellido.Text, txtdeporte.Text, txtedad.Text)
                MsgBox("Llenado exitoso")
            End If
        Catch ex As Exception
 
        End Try
    End Sub
 

Public Class mostrar2
 
    Dim i As Integer
    Private Sub btnmostrar_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles btnmostrar.Click
        Dim obj As New Deportista
 
        'creaste una nueva instsncia vacia, y el objeto donde estas guardando los datos
        'esta en otra clase, asi que necesitas hacer referencia a el, es por eso que 
        'tiene que ser Public
        obj = Form1.ob
 
        'aqui no te entendi, para que usas esta variable ¿por que esta inicializada 
        'como "---"?
        txtrp.Text += obj.mostrartext
 
        'Aqui solo estas mostrando el nombre necesitas hacer recursividad en todos tus arrays
        For i = 0 To obj.arrayNombre.Count() - 1
            txtrp.Text += "nombre:" & obj.arrayNombre.Item(i) & vbCrLf
            txtrp.Text += "apellido:" & obj.arrayApellido.Item(i) & vbCrLf
            txtrp.Text += "deporte:" & obj.arrayDeporte.Item(i) & vbCrLf
            txtrp.Text += "Edad:" & obj.arrayEdad.Item(i) & vbCrLf & vbCrLf
        Next
 
    End Sub