<form action="#" method="post">
  <input type="text" name="busqueda" autocomplete="off">
  <input type="submit" value="Buscar">
</form>
 
<?php
 
  $busqueda = isset($_POST['busqueda']) ? $_POST['busqueda'] : '';
 
  $con = new PDO("mysql:host=127.0.0.1;dbname=pers", "root", "root");
  $sql = "SELECT name, surname FROM persons WHERE CONCAT(name, ' ', surname) LIKE '%$busqueda%'";
  foreach ( $con->query($sql) as $row ) {
    echo $row['name'] . ' ' . $row['surname'] . '<br>';
  }
 
?>

CREATE DATABASE pers;
USE pers;
 
CREATE TABLE persons (
  id_person INTEGER PRIMARY KEY AUTO_INCREMENT,
  name      VARCHAR(20),
  surname   VARCHAR(20)
);
 
INSERT INTO persons VALUES
  ( NULL, 'Álvaro', 'Díaz'  ),
  ( NULL, 'Inés'  , 'López' ),
  ( NULL, 'René'  , 'Guzmán');

-- MySQL dump 10.17  Distrib 10.3.17-MariaDB, for Win32 (AMD64)
--
-- Host: localhost    Database: pers
-- ------------------------------------------------------
-- Server version	10.3.17-MariaDB
 
/*!40101 SET @OLD_CHARACTER_SET_CLIENT=@@CHARACTER_SET_CLIENT */;
/*!40101 SET @OLD_CHARACTER_SET_RESULTS=@@CHARACTER_SET_RESULTS */;
/*!40101 SET @OLD_COLLATION_CONNECTION=@@COLLATION_CONNECTION */;
/*!40101 SET NAMES utf8mb4 */;
/*!40103 SET @OLD_TIME_ZONE=@@TIME_ZONE */;
/*!40103 SET TIME_ZONE='+00:00' */;
/*!40014 SET @OLD_UNIQUE_CHECKS=@@UNIQUE_CHECKS, UNIQUE_CHECKS=0 */;
/*!40014 SET @OLD_FOREIGN_KEY_CHECKS=@@FOREIGN_KEY_CHECKS, FOREIGN_KEY_CHECKS=0 */;
/*!40101 SET @OLD_SQL_MODE=@@SQL_MODE, SQL_MODE='NO_AUTO_VALUE_ON_ZERO' */;
/*!40111 SET @OLD_SQL_NOTES=@@SQL_NOTES, SQL_NOTES=0 */;
 
--
-- Table structure for table `persons`
--
 
DROP TABLE IF EXISTS `persons`;
/*!40101 SET @saved_cs_client     = @@character_set_client */;
/*!40101 SET character_set_client = utf8 */;
CREATE TABLE `persons` (
  `id_person` INT(11) NOT NULL AUTO_INCREMENT,
  `name` VARCHAR(20) DEFAULT NULL,
  `surname` VARCHAR(20) DEFAULT NULL,
  PRIMARY KEY (`id_person`)
) ENGINE=InnoDB AUTO_INCREMENT=5 DEFAULT CHARSET=utf8;
/*!40101 SET character_set_client = @saved_cs_client */;

        function Buscar_Usuarios_Ajax($search)
	{
		$con = Conexion("root", "");
		echo $search; // imprimo la busqueda (texto)
		$search = utf8_encode($search);
		echo $search; // imprimo la busqueda (texto) pero codificada a utf8
		$consulta = $con->prepare("SELECT id_user, name, surname, avatar FROM usuarios WHERE CONCAT(name, ' ', surname) LIKE '%".($search)."%' ORDER BY CONCAT(name, ' ', surname) ASC LIMIT 6");
		$consulta->execute();
		$resultados = $consulta->fetchAll();
		echo $resultados[0]['name']; // imprimo el nombre encontrado
 
		return $resultados;
	}
 

echo mysqli_character_set_name($mysqli); //$mysqli es tu conexión SQL

Sería algo así, si ya se soy algo duro para entender  

Código

function Conexion($user, $pass)
{
	try
	{
		$con = new PDO('mysql:host=localhost;dbname=basedatos', $user, $pass);
		$con->character_set_name();
		return $con;
	} 
	catch(PDOException $e)
	{
		return $e->getMessage();
	}
}
 

Porque la manera en la que lo puse da errores, también probé tal y como me lo pasaste mysql_chararacter_set_name($mysql);
pero da el error de que la función no existe (la variable $mysql la adapte por supuesto)

SELECT @@character_set_client;