Buenas _CrisiS_ ,
creo haber entendido lo que pides, por lo tanto manos a la obra

La respuesta del comando siempre será constante excepto la carpeta u directorio que va entrecomillada, por lo tanto en la variable que contiene la cadena necesitarás buscar la posición de la primera barra (/) y con el método SubString hacer que te devuelva el resto de la cadena empezando por la posición de dicha barra (/). Después imprimiras la cadena quitando todos los caracteres que vayan después de las comillas.
Te dejo el ejemplo, a ver si lo entiendes
Sub Main()
'Declaramos la variable cadena haciendo referencia al supuesto comando
Dim cadena As String = "250 CWD command successful. ""/ElNombreDeLaCarpetaGeneral/SubCarpetaDondeGuardarFicheros"" is current directory."
'Busco en la variable cadena la posición de la barra (/) para que me devuelva el resto de la cadena a partir de esa barra
Dim output_final As String = cadena.Substring(cadena.IndexOf("/"))
'Imprimo la cadena normal para comparar resultados
Console.WriteLine(cadena)
'En la cadena final quito todos los caracteres que vayan después de las comillas, así solo quedará el nombre de la carpeta que buscas.
Console.WriteLine(output_final.Remove(output_final.IndexOf("""")))
Console.Read()
End Sub
Te dejo una imagen del resultado


Saludos.