Hola!
Creo que el problema es por como abres el archivo y escribes a la vez, por lo que la variable "que lo contiene"(en tu caso, txt) no tiene nada en su interior.
txt=open(logfile, "w").write(datetime.datetime.now().ctime())
Mira esto....
>>> x = open("lala", "w").write("hola")
>>> x
>>> x.write("alal")
Traceback (most recent call last):
File "<pyshell#7>", line 1, in <module>
x.write("alal")
AttributeError: 'NoneType' object has no attribute 'write'
>>> dir()
['__builtins__', '__doc__', '__name__', '__package__', 'x']
>>> print x
None
Creo que si lo dejas asi deberia bastar.
import datetime
Y=(input('Escribe alguna cosa'))
txt=open(logfile, "w")
txt.write(datetime.datetime.now().ctime())
txt.write(Y)
Por cierto, logfile es una variable que contiene el nombre del archivo a abrir, o es una cadena?(si es asi, faltan las comillas?)
Saludos!