Buenas.
Ire al grano:Actualmente tengo este codigo,que lo dejare por aquí abajo...Y la cosa es que la función del codigo es pedir una página web,y la abre.
Por ahora funciona,pero lo que quiero saber ahora es como hacer que python detecte que se ha logrado abrir correctamente e imprimir x mensaje,y si no se lo logro eso que imprima x mensaje transmitiendo un error.

Aqui mi codigo :

import os
import socket
 
import webbrowser
 
url = input ("[*]Introduzca la URL a la que desea acceder: ")
print ("...")
print ("[*]Accediendo a la pagina [", url, "]")
print ("Se ha accedido completamente a: ", url)
webbrowser.register('chrome', None, webbrowser.GenericBrowser('C:\Program Files (x86)\Google\Chrome\Application\chrome.exe'))
navegador = webbrowser.get("chrome")
navegador.open(url)

Quiero primero que el script pregunte a que url desea acceder.Despues acceda a esa Url.(Ese es mi codigo actual)

Ahora,mi duda es : ¿Cómo hago que Python compruebe que se ha accedido a la URL proporcionada por el usuario correctamente?

casi como dice engel lex deberías usar urllib (urllib2 no existe en python 3) ya que webbrowser es sumamente limitado! te pongo una modificación que le hice a tu código como ejemplo:

#-*- coding: utf -8 -*-
import os
import socket
import webbrowser
import urllib.request
 
url = input ("[*]Introduzca la URL a la que desea acceder: ")
if not url.startswith('http://'):
    direccion= 'http://'+url
 
print ("...")
print ("[*]Accediendo a la pagina [", url, "]")
 
def probar(url):
    try:
        urllib.request.urlopen(direccion)
        return True
    except:   
        return False
 
if probar(url):
    print ("Se ha accedido completamente a: ", url)    
    webbrowser.register('chrome', None, webbrowser.GenericBrowser('C:\Program Files (x86)\Google\Chrome\Application\chrome.exe'))
    navegador = webbrowser.get("chrome")
    navegador.open(url)    
else:
    print('...')
    print ('La pagina no está disponible')