Las dos opciones que tienes son:

void Persona::IngresarNombre(const char *nombre);
 
void Persona::IngresarNombre(const char nombre[]); 

Y en ambos casos estás haciendo lo mismo. Estás pasando como parámetro la dirección del elemento 0, es decir, el inicio del array en este caso (ya que doy por hecho que ese puntero contiene una cadena/array de caracteres).

No tienes que liberarlo; y te explico. Un puntero se libera con <delete> si se ha usado antes <new> sobre él. Es decir, sólo si estás usando memoria dinámica. En otro caso el puntero se libera solo cuando finaliza la ejecución del programa como cualquier otra variable.
En el caso de que SÍ estés usando memoria dinámica, debes liberar el puntero cuando ya no vayas a usarlo más. Y si has asignado el valor de ese puntero a otro puntero y borras el primero, también estarás borrando el segundo. Ya que lo que haces en realidad es liberar la memoria a la que está apuntando.

Mi recomendación es que no borres el puntero dentro de la función y así te servirá para pasar punteros dinámicos como no dinámicos. Si dentro de la función borras el puntero y en un caso determinado le pasas un puntero no dinámico (osea el comienzo de un array creado sin <new>) tendrás problemas.

Te dejo aquí un par de ejemplos simples para que veas las diferencias :

int main(){
    char *p_dinamico;
    p_dinamico = new char [20]; // tendras que liberarlo antes de acabar la ejecucion del programa
    char p_estatico[20]; // se liberara solo al acabar
 
    Persona my_person;
    my_person.InsertarNombre(p_dinamico); // p_dinamico lo puedes liberar en el main mas adelante
    my_person.InsertarNombre(p_estatico); // p_estatico se liberara solo
 
    delete [] p_dinamico; // como hemos dicho antes
} 

Un pequeño apunte. Los objetos de tipo persona los estás creando dinámicamente:

Persona *personaA = new Persona();
Persona *personaB = new Persona();
// ...
delete personaA;
delete personaB; 

Si los creas estáticamente no necesitas usar <new>:

Persona personaA; // ya llama al constructor sin parametros sin especificarlo nosotros
// ...
// no es necesario liberar memoria ya que no se ha reservado memoria dinamicamente 

Gracias, hombre, estoy aprendiendo muy rápido en este foro.