https://es.wikibooks.org/wiki/Programaci%C3%B3n_en_C/Instrucciones_de_control

*x es el contenido apuntado por x, *str2 será el contenido apuntado por str2, etc

Respuesta corta: el operador '!' invierte entre true y false una expresión.
El operador && relaciona dos expresiones booleanas. Si alguna de las dos es false, entonces la expresión "expresion1 && expresion2" valdrá false, pero si las dos expresiones son true, entonces la expresión final será verdadera.

Respuesta larga:

Partimos de

*s1 && *s2 && !(*s1 - *s2)

Analicemos. El operador con menos prioridad en esa expresión es el &&, por lo que por ahora lo dejamos aparte y la dividimos en tres partes:

*s1 // Primera parte
*s2 // Segunda parte
!(*s1 - *s2) // Tercera parte

Vale, entonces, la única expresión que hay es !(*s1 - *s2). Dicha expresión tiene un paréntesis, el operador con más prioridad, por lo que lo evaluamos primero con el ejemplo donde *s1 vale 65, y *s2 vale 66. El paréntesis queda así:

65 - 66

Lo que a su vez equivale a...

-1 //Simplemente restamos

Entonces, ya tenemos el paréntesis. La expresión quedaría:

!(-1)

Lo que hace el operador '!' es cambiar de true a false o viceversa la expresión que tenga a la derecha. Por ejemplo, si tenemos "!(false)", pasaría a "true", y si tenemos "!(true)", pasaría a "false". Pero, ¿y que pasa cuando son números? Si tenemos un número distinto de cero, entonces pasa a ser 0 (por ejemplo, "!(2)" equivale a "0"), y si tiene un "0", entonces pasa a valer "1".

Sabiendo esto, la expresión de antes "!(-1)" quedaría así:

0 // Invertimos

Ya sabemos que la primera parte vale 65. Sabemos que la segunda parte vale 66 y sabemos que la tercera parte vale 0.  Entonces, nos quedaría así:

65 && 66 && 0

Las expresiones, normalmente, se evalúan de izquierda a derecha, por lo que primero evaluamos "65 && 66". Lo que hace el operador es lo siguiente:

Valor izquierdo	Valor derecho	Resultado
0	0	false
0	Distinto de 0	false
Distinto de 0	0	false
Distinto de 0	Distinto de 0	true

Entonces, la expresión ÚNICAMENTE valdrá true cuando los dos operandos sean DISTINTOS de 0. En cualquier otro caso, la expresión será false.

Entonces, "65 && 66" pasaría a valer true.

Ahora tenemos la expresión "true && 0". Como ya hemos visto, como hay un operando que vale 0, entonces la expresión es false.

Sé que es largo de leer, pero creo que si se lee con detenimiento, se puede entender perfectamente

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PD.: Hubiera sido mejor la expresión

*s1 && *s2 && *s1 == *s2

Gracias class_OpenGL y MAFUS. Poco a poco lo estoy entendiendo. Es que me cuesta, hay que tener en cuenta que no he hecho una carrera ni nada de informática, aún estoy en Bachillerato jeje.
Entonces si escribo

while((*s1 && *s2) == (*s1 == *s2))
 

Es decir, según lo explicado. ¿(*s1 && *s2) deberá devolver 1 o true si no son '\0', y (*s1 == *s2) deberá devolver 1 o ture si son iguales y 0 si son diferentes?