La forma correcta que debería tener un archivo de cabecera es:

#ifndef TABLERO_H
#define TABLERO_H
 
#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <windows.h>
 
using namespace std;
 
class tablero
{
    public:
        tablero(){}
        tablero(string tablelimpio);
        ~tablero();
        string dartablero();
     protected:
    private:
        string vacio;
        int i, j, k;
        string tavacio;
 
};
 
#endif // TABLERO_H

O en su defecto

#pragma once
 
#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <windows.h>
 
using namespace std;
 
class tablero
{
    public:
        tablero(){}
        tablero(string tablelimpio);
        ~tablero();
        string dartablero();
     protected:
    private:
        string vacio;
        int i, j, k;
        string tavacio;
 
};

La protección ifndef debería abarcar todo el fichero, ya que así evitas que en el proceso de compilación y linkado y se carguen los includes de ese fichero varias veces seguidas.

Además, en el caso de esta clase, no usas las variables i,j,k y vacio... deberías eliminarlas.

    tablero t( vacio={"-","-","-","-","-","-","-","-","-"});

¿¿¿??? qué sentido tiene "vacio" en este contexto?? si quieres definir el "tablero" de esta forma, perfecto, pero no emplees un miembro de "menu" específicamente para eso... usa mejor variables locales:

Menu::Menu()
{
    string strTablero = {"-","-","-","-","-","-","-","-","-"};
    t1 = tablero( strTablero );
    //ctor
}

O mejor aún:

Menu::Menu( )
  : t1( "---------" )
{
    //ctor
}

Recuerda que con cada pareja de comillas estás definiendo una cadena, no un carácter suelto ( y las cadenas terminan todas con '\0', mientras que un carácter es... solo un carácter ).

En los ejemplos que has puesto tu, primero se llama al constructor de t1, después se crea t y después se hace una asignación... en este último caso únicamente se llama al constructor de t1. Es más bonito y eficiente.

            cout << "|"  << t1.dartablero()[i][0] << "|" << "\t";

A ver, si dartablero( ) devuelve un string, no puedes usarlo como si fuese una matriz... porque no lo es... en tal caso podrías usarlo como un vector, pero poco más. Puedes emular una matriz con un vector... pero recuerda que es una emulación, en ningún caso sería una matriz real:

    for (int i=0; i <3; i++)
        {
            cout << "|"  << t1.dartablero()[i * filasPorColumna] << "|" << "\t";
        }
    cout << endl;
 
    for (int j=0; j<3;j++)
        {
            cout << "|" << t1.dartablero()[j * filasPorCoumna + 1] << "|" << "\t";
        }
    cout << endl;
 
    for(int k=0; k<3; k++)
        {
            cout << "|" << t1.dartablero()[k * filasPorColumna + 2]<< "|" <<"\t" ;
        }

Y por cierto, podrías reutilizar i en cada bucle... no vas a tener ningún problema:

    for (int i=0; i <3; i++)
        {
            cout << "|"  << t1.dartablero()[i * filasPorColumna] << "|" << "\t";
        }
    cout << endl;
 
    for (int i=0; i <3; i++)
        {
            cout << "|" << t1.dartablero()[i * filasPorCoumna + 1] << "|" << "\t";
        }
    cout << endl;
 
    for (int i=0; i <3; i++)
        {
            cout << "|" << t1.dartablero()[i * filasPorColumna + 2]<< "|" <<"\t" ;
        }

O, ya puestos, combinarlos, que no tiene sentido tanto bucle:

for (int fila=0; fila <3; fila++)
{
  for ( int col = 0; col < 3; col++ )
    cout << "|"  << t1.dartablero()[ fila * filasPorColumna + col ] << "|" << "\t";
  cout << endl;
}

el valor de filasPorColumna, en tu caso, debería valer 3, por si acaso dudas.

En cualquier caso, lo suyo es que usases una matriz de tipo char y así te evitas tener que emular el comportamiento de una matriz... la clase string no es la mejor opción en tu caso.