Puedes hacerlo mediante una llamada AJAX disparada desde el click sobre un link de la fecha.
Ahí donde pones:
$(document).ready(function(){
$(".dates li").click(function(){
alert("<?php echo $j; ?>");
});
})
Deberías usar algo como:
$(document).ready(function(){
$(".dates li").click(function(){
$.post('agregar_evento.php', { clave1: valor1, clave2: valor2 } );
});
})
Y del lado de php crear el archivo agregar_evento.php que tome el json del php://input, lo convierta y con eso haga el insert en la base... algo como:
<?php
$json = file_get_contents("php://input");
$values = json_decode( $json );
$sql = "INSERT into TABLA_EVENTOS (campo1, campo2) VALUES ( '{$values->clave1}', '{$values->clave2}' );";
// ... conexion a la db
$pdo->exec( $sql );