He visto, que ha algunos les interesó la electrónica y sobre todo la parte de lógica digital.
He decidido poner en este post, los fundamentos del algebra de boole, y el por que de cada una de las operaciones que se encuentran en él.
Espero que les sirva de ayuda, me ha costado mucho la verdad.
ALGEBRA DE BOOLE
ALGEBRA DE BOOLE
Postulados:Operaciones conmutativas:A*B=B*A
A+B=B+A
Elemento neutro:A*1=A
A+0=A
Propiedad distributiva:A*(B+C)=(A*B)+(A*C)
A+(B*C)=(A+B)*(A+C)
Complementos:A+Ã=1
A*Ã=0
TEOREMAS:DUALIDAD: Dada una identidad de los postulados del álgebra de boole, por lo tanto válida, se obtiene otra identidad igualmente válida para la operación * en la operación +, y viceversa. Cada operación se reemplaza por otra, al igual que sus elementos neutros.
IDEMPOTENCIA:A*A=A
A+A=A
Demostración:
A+A=(A+A)*1
(A+A)*(A+Ã)
A+(A*Ã)
A+0
A
Dual para la operación *
ABSORCIÓN:A+1=1
A*0=0
Demostración:
1=A+Ã
A+(Ã*1)
(A+Ã)*(A+1)
1*(A+1)
(A+1)*1
A+1
Dual para A*0
Primera ley de redundancia:A+(A*B)=A
A*(A+B)=A
A=A*1
A*(B+1)
(A*B)+(A*1)
(A*1)+(A*B)
A+(A*B)
Dual para A*(A+B)
Unicidad del complemento:Supondremos que:
Ã=X ^ Ã=Y // Es decir supondremos 2 complementos posibles para Ã
Si existiera lo anterior, entonces tendríamos:
(A+Ã=A+X=A+Y=1) ^ (A*Ã=A*X=A*Y=0)
Demostración:
X=X*1
X*(A+Y)
(X*A)+(X*Y)
0+(X*Y)
(A*Y)+(X*Y)
Y*(A+X)
Y*1
Y
INVOLUCION:A=Ẫ
Demostración:
Ã=E
Ẽ = A
A*E=0
A+E=1
Reemplazando en E:
A*Ã=0
A+Ã=1
ASOCIATIVA:A+(B+C)=(A+B)+C
A*(B*C)=(A*B)*C
Supondremos:
A+((A*B)*C)=A+((A*(B*C))
Ã+((A*B)*C)=A+((A*(B*C))
DEMOSTRAREMOS:
A+((A*B)*C)=A+((A*B)*C)
A+((A*B)*C)=A
A*(A*C)
A+(A*B)+(A+C)
A+((A*B)*C)
DEMOSTRAREMOS: Ã+((A*B)*C)=Ã+((A*B)*C)
Ã+(A*(B*C)) = (Ã+A) * (Ã+(B*C))
1 * (Ã+(B*C))
(Ã+B) * (Ã+C)
1 * (Ã+B) * (Ã+C)
(Ã+A) * (Ã+B) * (Ã+C)
Ã+(A*B) * Ã+C
Ã+((A*B)*C)
Y CON ELLO:
(A+((A*B)*C))* (Ã+((A*B)*C))) =(A+(A*(B*C)) *(Ã+(A*(B*C))
Al primer miembro lo minimizaremos:
(A+((A*B)*C))* (Ã+((A*B)*C))
(A*Ã)+((A*B)*C)
0 + ((A*B)*C))
I(A+(A*(B*C)) *(Ã+(A*(B*C))
(A+Ã)+(A*(A*B))
0+(A*(A*B))
IIPara terminar:
I=II
(A*B)*C=A*(A*B)
PRIMERA LEY DE DEMORGAN:_____
(A+O) = Ã*Õ
_____
(A*O) = Ã+Õ
Demostración:
(A+O) + (Ã*Õ) = 1
(A+O)*Ã + (A+O)*Õ
(A*Ã)+O + (O*Õ)+A
1+O + 1+A
1+1
1
SEGUNDA LEY DE DEMORGANDual al anterior
SEGUNDA LEY REDUNDANCIAA*(Ã+B) = A*B
A+(Ã*B) = A+B
A*(Ã+B) = (A*Ã) + (A*B)
0 + (A*B)
(A*B)
Dual al anterior para demostrar : A+(Ã*B) = A+B