CREATE TABLE contactos(
	id INT IDENTITY NOT NULL,
	titulo VARCHAR(50),
	nombre VARCHAR(50) NOT NULL,
	nombre2 VARCHAR(50),
	ape1 VARCHAR(50) NOT NULL,
	ape2 VARCHAR(50),
	apodo VARCHAR(50) NOT NULL,
	direccion VARCHAR(150),
	ciudad VARCHAR(20),
	provincia VARCHAR(20),
	cp VARCHAR(10),
	pais VARCHAR(20),
	telefono VARCHAR(20),
	movil VARCHAR(20),
	fax VARCHAR(20),	
	web VARCHAR(50),
	twitter VARCHAR(50),
	facebook VARCHAR(50),
	direccion2 VARCHAR(150),
	ciudad2 VARCHAR(20),
	provincia2 VARCHAR(20),
	cp2 VARCHAR(10),
	pais2 VARCHAR(20),
	organizacion VARCHAR(50),
	puesto VARCHAR(50),
	departamento VARCHAR(50),
	oficina VARCHAR(50),
	telefono2 VARCHAR(20),
	fax2 VARCHAR(20),
	sexo VARCHAR(10),
	cumple VARCHAR(10),
	pareja VARCHAR(50),
	aniversario VARCHAR(10),	
	comentario VARCHAR(1000),
	imagen Image,		
	PRIMARY KEY (ID)
 
);

CREATE TABLE email(
	id_contacto INT NOT NULL,
	email VARCHAR (100) NOT NULL,
	PRIMARY KEY (email, id contacto),
	FOREIGN KEY (id_contacto) REFERENCES contactos (id) ON DELETE CASCADE
);

public override bool Nuevo_Email(string correo)
        {
            bool exito = false;
 
            //Variable para el ide del contacto
            int num_id = 0;
 
            String sentenciaSql = "SELECT COUNT (*) FROM contactos";
 
 
            SqlConnection conexion = null;
            DataTable data_table = null;
            try
            {
                conexion = new SqlConnection(cadena_conexion);
                SqlDataAdapter data_adapter = new SqlDataAdapter(sentenciaSql, conexion);
                data_table = new DataTable();
 
                conexion.Open();
                data_adapter.Fill(data_table);
                conexion.Close();
 
                num_id = Convert.ToInt32(data_table.Rows[0][0].ToString());
 
                String query = "insert into email(id_contacto,email) values(" + num_id + ",'" + correo + "')";
 
                conexion = new SqlConnection(cadena_conexion);
                conexion.Open();
                SqlCommand cmd = new SqlCommand(query, conexion);
                if ((1 != cmd.ExecuteNonQuery()))
                {
                    MessageBox.Show("Se ha producido un error al acceder a la fuente de datos", "Error", MessageBoxButtons.OK, MessageBoxIcon.Error);
                    exito = false;
                }
                else
                {
                    exito = true;
                }
            }
            catch (SqlException ex)
            {
               // MessageBox.Show("No se ha podido guardar en la base de datos", "Error", MessageBoxButtons.OK, MessageBoxIcon.Error);
                exito = false;
            }
            finally
            {
                if (conexion != null)
                {
                    if (conexion.State == ConnectionState.Open)
                    {
                        conexion.Close();
 
                    }
                }
            }
            return (exito);
 
        }

ex = {"Instrucción INSERT en conflicto con la restricción FOREIGN KEY \"FK__email__id_contac__164452B1\". El conflicto ha aparecido en la base de datos \"agenda\", tabla \"dbo.contactos\", column 'id'.\r\nSe terminó la instrucción."}

• Reutiliza la conexión.
• Haces un Select * solo para traerte una columna de un registro?, mejor SELECT TOP 1 COLUMNA FROM TABLA
• Según el diseño de tu BD cada persona puede tener muchos emails, no se si esto es lo que quieres hacer.