Hola puedes dar mas informacion de lo que quieres ya que tengo una idea pero a lo mejor no es lo quieres aconsejo ser mas preciso

segundo no revulevas componentes de awt con los de swing aun que en algunos casos funcione no es lo correcto hay otros detalles pero espero seas mas preciso con la explicacion.


Edito:
Bueno me di a la tarea de mostrar un ejemplo muy burdo espero esto se asemeje a lo que buscas si no lo es hazlo saber

en teoria es un circulo que se mueve de un punto a otro ojo la implentacion es muy simple y tendra sus detalles

Espero alguno moderador agrege las etiquetas geshi por que yo no puedo

public class AnimationFrame extends JPanel implements Runnable {

    private int xinicial = 0, yinicial = 0;
    private int xfinal = 0, yfinal = 0;
    private boolean terminar = false;
    private final byte tamanoPelota=30;

    public AnimationFrame(int xinicial, int yinicial, int xfinal, int yfinal) {
        this.xinicial = xinicial;
        this.yinicial = yinicial;
        this.xfinal = xfinal;
        this.yfinal = yfinal;
    }

    public void paint(Graphics g) {
        super.paint(g);
        pintarPunto(g, xinicial, yinicial);
    }

    public void pintarPunto(Graphics g2, int x, int y) {
        g2.setColor(Color.blue);
        g2.fillOval(x, y, tamanoPelota, tamanoPelota);
    }

    @Override
    public void run() {

        while (!terminar) {
            xinicial++;
            yinicial++;
            if (xinicial == xfinal && yinicial == yfinal) {
                break;
            }
            try {
                Thread.sleep(10);
            } catch (InterruptedException ex) {
                ex.printStackTrace();
            }
            repaint();
        }
    }

    public static void main(String[] args) throws InterruptedException {

        JFrame ventana = new JFrame("animacion corriendo");
        ventana.setBounds(0, 0, 500, 500);
       
        //le pasamos las coordenas de donde iniciar y las coordeandas donde terminara
        AnimationFrame animacion = new AnimationFrame(0, 0, 200, 200);
        ventana.add(animacion);
        ventana.setVisible(true);
        ventana.setDefaultCloseOperation(JFrame.EXIT_ON_CLOSE);

        Thread t1 = new Thread(animacion);
        t1.start();
        t1.join();
        System.out.println("Hilo terminado");

    }

}

No veo que se dibuje algo, de todas formas no debes meter algún repaint() dentro del método paint() vamos que así no terminará de pintar.

Te dejo este esqueleto para hacer juegos en java( utiliza hilos), está muy bien hecho: http://javapragmatico.blogspot.mx/2009/04/esqueleto-basico.html

¿Pero por qué no quieres utilizar hilos?, bueno de todos modos he modificado el código de @crack18 para que funcione sin hilos:

public class AyudaForo extends JPanel{
 
    private static int xinicial = 0, yinicial = 0;
    private static int xfinal = 0, yfinal = 0;
    private static boolean terminar = false;
    private static final byte tamanoPelota=30;
    public static AyudaForo animacion = new AyudaForo(0,0,200,200);
 
    public AyudaForo(int xinicial, int yinicial, int xfinal, int yfinal) {
        this.xinicial = xinicial;
        this.yinicial = yinicial;
        this.xfinal = xfinal;
        this.yfinal = yfinal;
    }
 
    public void paint(Graphics g) {
        super.paint(g);
        pintarPunto(g, xinicial, yinicial);
    }
 
    public void pintarPunto(Graphics g2, int x, int y) {
        g2.setColor(Color.blue);
        g2.fillOval(x, y, tamanoPelota, tamanoPelota);
    }
 
    public static void run() {
 
        while (!terminar) {
            xinicial++;
            yinicial++;
            if (xinicial == xfinal && yinicial == yfinal) {
                break;
            }
            try {
                Thread.sleep(10);
            } catch (InterruptedException ex) {
                ex.printStackTrace();
            }
            animacion.repaint();
        }
    }
 
    public static void main(String[] args) throws InterruptedException {
 
        JFrame ventana = new JFrame("animacion corriendo");
        ventana.setBounds(0, 0, 500, 500);
        ventana.add(animacion);
        ventana.setVisible(true);
        ventana.setDefaultCloseOperation(JFrame.EXIT_ON_CLOSE);
        run();
        System.out.println("Hilo terminado");
 
    }
 
}
 

en el método run hay dos variables xinicial,yinicial y son las coordenadas del punto, o sea que dentro de ese método debes implementar tu algoritmo para dibujar.

public static void run() {
           //Aquí utiliza tu algoritmo para ir modificando las variables que te había mencionado
 
            try {
                Thread.sleep(10);
            } catch (InterruptedException ex) {
                ex.printStackTrace();
            }
            animacion.repaint();
 
    }

debes llamar a repaint cada vez que hayas desplazado el punto, en el ejemplo sólo se llama una vez.

y eso que tiene ver que uses while el codigo que publique se puede tambien aumentar en otros valores no solo en uno explicate un poco mas detalladamente por favor.

quiero por cada iteracion pintar y borrar y luego pintar etc