Lo más posible es que te hayas quedado sin espacio en la raíz. Inicia sesión en uno de los terminales de texto: Ctrl+Alt+FX (X desde uno hasta seis).

Una vez hayas iniciado sesión introduce el comando df -h /, te dirá el espacio asignado a la raíz y cuánto queda libre, si está llena prueba primero a eliminar los .deb de los paquetes que estén instalados: apt-get clean. Con esto deberías de haber dejado espacio suficiente para poder funcionar sin problemas. Ahora cierra sesión en el terminal de texto (exit) y vuelve al terminal gráfico con Ctrl+Alt+F7 (si es como en Debian, sino prueba con los distintos FX). Si todavía no puedes iniciar sesión reinicia el ordenador.

Una vez reinicies abre un terminal. Si no tienes instalado du instálalo: apt-get install du. Ahora vamos a ver si los logs se han desmadrado. Ejecuta du -sh /var/log/* | sort -rh | head, si alguno pesa al menos un giga ejecuta tail el_log_que_sea. Si hay algún error repetitivo apuntalo, elimina el log, y busca la solución al problema en internet, sino volverás a tener el mismo problema con logs que se comen el espacio de la raíz.

¡Saludos!

Si el problema no es el anterior busca el error concreto en Google. No creo que seas la primera persona que lo padezca.