Mandar, puedes mandar el e-mail con un dominio que no sea tuyo "falsificando" el remitente, si el dominio no tiene configurado registros SPF, DMARC, DKIM (cosa bastante habitual hoy en día). Aunque hay más posibilidades que llegue al carpeta de SPAM (correo electrónico no deseado). Según las medidas que tengan implementadas.
Configurar correo electrónico seguro con SPF, DMARC y DKIM https://blog.elhacker.net/2020/11/configurar-correo-electronico-seguro-spf-dmarc-dkim.htmlPuedes usar la herramienta on-line:
https://emkei.cz/Que permite crear mensajes de correo electrónico con una dirección de remitente falseada. La herramienta que utilizaron los Mossos d'Esquadra para engañar organizaciones independentistas
Recibir respuesta en esa dirección no vas a poder, los registros MX del dominio deben apuntar a tu servidor de correo