Saludos!

Bitcoin Core se refiere al sofware que funciona como "nodo completo" de Bitcoin, osea que sirve para descargar toda la blockchain en la PC, y te permite tener una copia completa y actualizada de la misma. También puedes enviar y recibir bitcoin, crear direcciones bitcoins, firmar las transacciones, entre otros.

El proceso de "firmar transacciones" empieza cuando envías bitcoin: tienes que demostrar que eres el dueño de esos bitcoins que vas a enviar. Para eso "firmas" digitalmente la transacción usando la private key/clave privada. Detrás de esa firma funciona un algoritmo matemático que emplea la privatekey para generar una firma digital única, que se añade a la transacción, y por lo tanto te identifica inmediatamente. Firmar transacción = autenticidad, seguridad, identificación de los bitcoins enviados.