Hola

A la hora de escoger un gestor de base de datos todo depende de tus necesidades (¿requerimientos?). Se supone que el gestor de base de datos debe estar instalado en una sola máquina (el servidor) si no hay servidor podría estar en cualquiera de las 2 máquinas pero la otra tendrá que tratar a la que tiene el gestor como servidor, así ambas accederán a los mismos datos. Por el caso de costos yo recomendaría una base de datos libre como MySQL o PostgreSQL, y por el caso de experiencia personal recomendaría PostgreSQL. Tal vez te convendría probar con algunas bases de datos para luego elegir cual de ellas te gusta más. El manejo dentro del lenguaje de programación (ya sea vb.net, c#, etc) será prácticamente el mismo, casi todos los adaptadores para .NET de motores de bases de datos funcionan igual.

Si andas sobre .Net te recomiendo MSSQL por compatibilidad nativa. MySQL es un servidor rápido pero carente de robustez. Si te vas a lo grande te recomiendo Oracle. Otra opción mucho más liviana pero poco recomendable es SQLite.

Saludos