Al final lo hice de esta manera.

n = int(raw_input('Valor inicial: '))
m = int(raw_input('Incremento: '))
 
 
i = 0
while i < n * m:
    i += n
    print i

Da el mismo resultado que el tuyo.

Buenas

Como dice el enunciado, este código lo que te pide es que muestres todas las potencias de dos cuyo resultado se encuentre entre 20 y 230 (Estos dos números inclusive).

Tu primer código:

i = 0
while i <= 230:
     i += 2**20
     print i

Inicializas la variable i en 0 y entrás en un bucle el cual se va a ejecutar mientras el valor de i sea menor o igual que 230. En la primer iteración i vale 0 y ejecuta lo que esta dentro del while. Al entrar asigna a i su valor mas 2**20 (0+1048576). Como el valor de i ahora es mayor que 230, no cumple la condición y no vuelve a entrar.

El otro code:

# Bucle.
i = 20
while i < 230:
    i += 1**2
    print i

Inicializas la variable i con valor 20. Como es menor que 230, entra en el bucle. Adentro asigna a i el valor de 1 elevado al cuadrado (Que viene a ser uno. Osea, es lo mismo que hacer i += 1 ). Lo que hace es mostrar los valores del 21 al 230.

Lo que tenés que hacer es ir tomando valores, elevándolos al cuadrado e imprimirlos si el resultado se encuentra entre 20 y 230.

Podrías hacer algo asi:

i = 5    # Esto es porque 2**5 es el primer valor mayor o igual que 20
while 2 ** i <= 230:
    print 2 ** i
    i += 1

Un saludo

Llegué a pensar que sería así:

i = 21
while 20 <= 230:
    i += 1
    print 2 ** i

Tu código tiene varios 2 ** i.

Como resultado, tu código sale así:

64
128
256

Cuando en realidad el máximo es 230.

El tuyo funciona bien, el de él se queda en 256.

i = 5
while 2 ** i <= 230:
    i += 1
    print 2 ** i

Resultado: 256.

i = 5    
while 2 ** i < 230:
    i += 1
    print 2 ** i

256.

JEjee, ahora si. Eso que tengo la manía de usar los print al final.

Gracias a tod@s.