Hola!
Normalmente mi conexión está sin problemas por un rato y luego de unos 15-20 minutos pasa esto:



Y para volver a la normalidad o tengo que esperar un rato, o tengo que desconectarme de la inalámbrica que uso y volverme a conectar. Y es un verdadero problema ya que al salir ese mensaje de "red de destino inaccesible" hace que toda aplicación que esté utilizando la red se pare completamente y tenga que reiniciarlo.

¿Alguien sabe que es lo que sucede y que debo hacer para arreglarlo?

Y hazla mas simple, si la mandas el ping a la 192.168.1.1 que es tu DG y pierde paquetes el problema es de señal y si son varios dispositivos con el mismo problema entonces es problema del ISP si no entonces puede ser problema del dispositivo que estas usando (drivers, tarjeta de red, interferentes a nivel chanel, etc)