Hola.

Como dice el título: ¿Cómo puedo incrementar un puntero con ++ en vez de +=1?
Por ejemplo:

void modificar(int *algo)
{
   *algo++;
   printf("%d\n",*algo);
}
int main()
{
   int cosa = 5;
   modificar(&cosa);
 return 0;
}

Si escribo esto el programa me manda a la m*****. Sin embargo si lo hago así:

void modificar(int *algo)
{
   *algo+=1;
   printf("%d\n",*algo);
}
int main()
{
   int cosa = 5;
   modificar(&cosa);
 return 0;
}

Me imprime un 6. ¿Esto a qué es debido? ¿Estoy incrementando mal el puntero?

Es por la precedencia de los operadores. En tu caso lo que hacías era apuntar a una zona de memoria a la que el S.O. te deniega el acceso, incrementabas la dirección del puntero.
Usa parentesis para hacer lo que quieres, o varia la posición del ++, según como deba trabajar tu código en una sentencia compleja:

(*algo)++

o

++*algo

En una sentencia simple de incremento como la que buscas puedes usar la forma que quieras.