Estas usando C++, sin embargo, tienes librerías incluidas de C...

Te dejo como sería en C:

#include <stdio.h>
 
int main()
{
    char buffer[50];
 
    printf("Ingresa la frase: ");
    scanf("%s", buffer);
 
    int i = 0;
 
    while (buffer[i])
    {
        printf("%c = %i\n", buffer[i], buffer[i]);
        i++;
    }
 
    return 0;
}

Salida del programa:

El primer código también compila en c++ se usa printf en muchos casos cuando quieres tener control de la impresión, ya que cout algunas veces pasa cosas por alto... tu código tiene cosas de c también (stdio.h y string.h, para c++ es sin .h)

Quieta string.h y stdio.h, usa getline para leer y recorre la cadena con u n while, haces un if de manera que si el carácter leído es '\0' o '\n' haga break para salir del ciclo

Por favor NO publiques todo el texto de tu mensaje en mayúsculas, lo prohíben las reglas de los foros.

En cuanto al programa se deben cambiar los nombres de los encabezados y evitar el uso de la función gets, las razones de ello se indican en el tema |Lo que no hay que hacer en C/C++. Nivel basico|.

Ademas:
* No es necesario el uso de dos contadores (las variables "i" y "j"), con uno solo basta.
* Para procesar todos los caracteres el limite debe ser "< strlen(frase)".
* Lo anterior no es necesario ya que las cadenas "a la C" se pueden procesar hasta encontrar el carácter '\0'.
* El programa no genera la salida esperada porque la asignación esta al revés:

frase[i] = num_frase[j]; // Deberia ser num_frase[j] = frase[i];

Por ultimo no es necesario un array de enteros, en su lugar se puede generar el entero correspondiente con:

cout << frase[i] << "=" << int(frase[i]) << endl;

Un saludo