Mi**da de versión? La considero una de las mejores versiones de Windows y una de las que ofrecen una mejor UX. Dejemos de centrarnos solo en los fallos.

n^0 == 1
n^1 == n
n^m == n * n^(m-1)

Esa es la lógica de las potencias con números naturales. Como ves, es recursiva cuando la potencia es mayor que 1. De ahí, la función a hacer es parecida...

¿Qué error?

Y en cuanto al código, comentar que la mediana... no necesitar hacer el if ese. Simplemente, hazla siempre.

string letra = Convert.ToChar(num j + 32).ToString();

num j

Aunque se le llame "sobrecarga", es pura teoría. En C++, esos 2 métodos son métodos diferentes, sin más.

Apunto un detalle: en la línea del if de donde ordena, haces: "numeros[j+1]".
Teniendo en cuenta que n es el número de elementos, y que j va de 0 a n-1 (n-1 incluído), al acceder a j+1 estás sobrepasando el total de elementos, y accediendo a una posición más.
Ese es el primer fallo grave que veo.

El resultado que obtienes es igual al que esperas?

Ok, pero una cosa es ver cómo accedr a DNIe y otra es corregir ese NullReferenceException.
Para eso último, tendrás que depurar tu programa y ver qué parte te da el error, que se debe a que un objeto no lo has inicializado o no tiene valor.

Esta es la informaciónque tienes pública, la puedes obtener en Google:
https://www.incibe.es/extfrontinteco/img/File/intecocert/dnie/pdf/guiades.pdf
https://www.dnielectronico.es/PortalDNIe/PRF1_Cons02.action?pag=REF_1120

Basta ver el comentario del código para suponer que la idea es hacerlo a mano.