Te dije (aunque no lo remarqué por eso quizás no te diste cuenta): .add() y .remove() están ahí en la API.

Si tienes que hacerlo de la otra forma (que si es para trabajo de clase te obligan a aprender también esa aunque luego no se use tanto) entonces si es un coñazo, pero hay que hacer lo que dije, borrar el valor (volcar lo que queda a un array temporal) y luego redimensionar el array, porque sigues teniendo el hueco aunque esté vacío. Para añadir tienes que volcar los datos a otro array, redimensionar el viejo y volverle a pasar los datos que tenías en la array temporal. El método add() y remove() te autoredimensiona ya las cosas automáticamente.

Haces un for que recorra todos los indices del array desde el 0 hasta ArrayList.size() -1 (He usado la clase ArrayList, si quieres usar la clase Array busca aqui pero te recomiendo leerte como funciona el ArrayList, sino puedes simplemente crear un array con tipo[longitud]) y lo comparas con el objeto a buscar, pero ojo, no con el objeto en si, porque sino comparas dos direcciones de memoria que nunca van a ser iguales, tienes que usar un metodo que sea una propiedad del array, por ejemplo si es un array de perros tendrias que usar perros[X].raza() == "razaBuscada" Si hay varios objetos con el mismo nombre pues ya averiguatelas tú, guarda los resultados en otro array y luego de ese array vuelves a comparar por otro metodo, haz if encadenados etc. Ya a gusto de cada uno es eso.

A todas estas preguntas hay respuestas aqui: (Método add() remove()...)
http://docs.oracle.com/javase/7/docs/jdk/api/javadoc/doclet/index.html?com/sun/javadoc/package-summary.html Si usas el tipo variable[] nombre entonces añadir y borrar datos es más complejo porque primero tienes que poner a null el valor de la posicion y luego redimensionar el array, en fin, no me acuerdo bien como funcionaba y tendría que estar programando para verlo, pero si usas el ArrayList es como un Object[] nombre, porque es un array de objects.
Si me dices exactamente cual quieres usar yo te doy más datos (poniendo links a explicaciones, claro )