Con todo el respeto del mundo, ese algoritmo es una auténtica caca. Primero porque es muy lento (ponle la raíz de 500 a ver que tal), segundo porque es muy poco preciso.

Lo que te están pidiendo esque hagas las series de taylor, la raíz de x puede expresarse como el limite de la siguiente sucesión:

Siendo x el número del que quieres obtener la raíz. El error con el que estás calculando la raíz puede expresarse como:

De modo que si quieres calcular de raíz de un numero con una precisión de 1e-15 (15 decimales de precisión). Tendrías que empezar en a(1) y ir aplicando la sucesión a(n). En cada calculo haces la resta con el valor anterior y paras cuando el error sea menor a 1e-15.

Ese es algoritmo que usa sqrt, debería darte el mismo resultado (puede variar en los decimales 16-17, pero es un error despreciable).

Pregunta si tienes alguna duda.

PD: No lo he dicho, pero para tener 15 decimales de precisión necesitaras usar double y no float