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https://es.stackoverflow.com/questions/151569/por-qu%C3%A9-mis-sockets-en-nodejs-no-funcionan

Un poco modificado el servidor:

const http = require('http');
const express = require('express');
const app = express();
const io = require('socket.io')();
 
const server = http.createServer(app);
 
app.set('port', process.env.PORT || 3000);
app.use(express.static(__dirname + "/public"));
 
server.listen(app.get('port'), function(){
  console.log("Servidor iniciadio");
})
 
io.listen(server);
 
io.on('connection', function(socket) {
  console.log("Nuevo cliente conectado");
 
  socket.on('mensaje-cliente', function(data) {
    console.log(data);
  })
})
 

Nótese que el on('connection') del server no tiene que ver con el del socket.