Vamos allá-

http://na.leagueoflegends.com/board/showthread.php?t=973373

UNa cosita mediante wine ya instalaste el juego ese?

SI si abre la carpeta /.wine vete a donde este el directorio del juego, abre un terminal escribe wine, pon el raton arriba del icono de launching del juego y muevelo hacia la terminal quando aparezca el path del launcher dale enter,

para ver que error te da.

QUanto a lentitud, una de dos o bien que no tienes drivers soportados y usas los contribuidos por la comunidad, o bien que tienes drivers soportados, si pinchas en jockey-gtk te los busca automatico.

Si usas drivers no mantenidos hay bastantes possibilidades de que pueda haber perdida de rendimeinto grafico, es cuestion de verificar si el jeugo va o no, en caso de lentitud también puede jugar la falta de lagunas bibliotecas y  tools extra de aceleración gráfica, en tiempos de inicio de 12.04 tuve muchos problemas con eso mismo lentitud y paros, uso ATI, lo solvente instalando - mesa-utils-.

sin embargo pienso que ese problema con ATI ya estara resuelto en caso que no y si tienes este tipo de grafica instala, no pierdes nada.

Sólo para dejar testimonio, el LoL funciona perfectamente sobre wine sin perder demasiado rendimiento, he estado jugando a él hasta hace poco en una máquina modesta (chip 3D integrado). Mejor con PoL, o con tu propio wine parcheado y compilado (aunque es más complicado y engorroso).

Cuando lo eches a andar, no juegues contra gente, hazte una personalizada y configura bien los gráficos para obtener el máximo de fps (activando/desactivando hasta que en tu máquina vaya bien). Es importante esto, porque a veces puede cascar, en ese caso a veces la opción sencilla es cambiar de versión de wine (por eso PoL es recomendado, que gestiona bien las versiones de wine).

Ten en cuenta que la tienda no funciona, puedes comprar campeones a través de tu perfil, pero runas y skins y cosas de esas no podrás comprar a no ser que se arregle ese bug.

En todo caso acude a los foros donde tratan esto, seguro que saben la solución.