Llevo años con este dilema.
De las relaciones que aquí Newton presentó, entiendo que las fuerzas centripetas serán inversamente como las distancias, pero ¿Por qué c*rajos pone cuadrado de las distancias? ¿Qué tiene que ver una potencia aquí? Nunca he entendido cual es la filosofía de elevar al cuadrado algo como la distancia o el tiempo. Especialmente el tiempo: ¿Qué relación causal podría tener un cuadrado de un tiempo periódico con un cubo de una distancia? ¿Que sentido puede tener expresar algo que sólo ocurre linealmente (en términos de la física newtoniana) de forma exponencial?

No se de donde eres... pero a mi solo me enseñaron las formulas. Todo lo que entiendo de la logica de esas formulas ha sido resultado de horas trazando lineas... y en el caso de las potencias, nunca he logrado descifrar el lugar que ocupan en una formula. Para que entiendas mejor mi problema te explico de donde viene:

E=mc²

De ahi proviene todo. Entiendo perfectamente la logica de la ecuacion: cada unidad de masa que actua a la velocidad de la luz se entiende por "Energia". Lo que nunca he entendido es por que eleva al cuadrado la velocidad de la luz, y ahora leyendo este libro me encuentro con el mismo problema.

Dices:

Entiendo, pero ¿Por que al cuadrado? Si elevas la distancia al cuadrado, estarias representando un espacio, precisamente, cuadrado. ¿La distancia entre los dos cuerpos no es mas bien lineal? Es decir ¿No deberia estar elevada a 1?

En resumen, mi problema es:

La distancia es un concepto lineal. El tiempo es un concepto lineal. He visto a los dos involucrados en ecuacioes en las que se les eleva al cuadrado, al cubo... etc. Entonces, ¿Estoy loco yo o estan locos los demas?

https://es.khanacademy.org/science/electrical-engineering/ee-electrostatics/ee-electric-force-and-electric-field/a/ee-inverse-square-law

Que pregunta tan hermosa... creo que se me esta saliendo una lagrima...

Es una proporción entre medidas...

Si te gusta que la distancia sea un concepto lineal... pues podemos tratarla como lineal, mira como se cambia:

La fórmula de atracción de masas (sigue siendo la misma, pero) ahora expresada como:
F = G*( sqr(M*n)/d))

Ya está, ya tienes la distancia linea... La fórmula sigue siendo la misma, no ha cambiado un ápice su significado, solo la forma en que  'la ves'.

¿y ahora..qué,  te resulta más fácil, hallar la raíz cuadrada de algo (teniendo que operar con decimales), o multiplicar algo por sí mismo?.

En el caso de la fórmula de Einstein, la velocidad al cuadrado, tiene que ver con la fórmula de la aceleración... con cuestiones de velocidad, es frecuente ver tiempos al cuadrado. Siempre se puede derivar una fórmula para hacer que el 'cuadrado' se refleje en la otra parte, en las otras variables.

---

Es una decorativa forma de explicar erróneamente conceptos.
Ahí lo que está al cuadrado es una superficie, ni siquiera una distancia...
De hecho si hacemos que la distancia sea lo más próxima a 0, la superficie tendrerá al infinito, y en un instante dado de dicha distancia seguirá siendo una superficie al cuadrado...

En realidad, la proporción queda mejor reflejado con un doble cono... me tomo la molestia de hacer un borroso dibujito, con la memez de la 'mantequilla', y un poco más cuidado con la del cono:


Las líneas amarillas determinan un cono (supuesta dos masas esféricas e imaginando un volumen), debe notarse que la distancia así como sus masas harán que ese cono aumente o disminuya la superficie del cono (de un corte transversal del cono), al igual que lo de la mantequilla, no responde al cuadrado de la distancia entre masas (si al cuadrado del radio, pues es la fórmula del círculo), pero puede verse que variando las masas (representada en el tamaño de los círculos) o variando la distancia cambian los ángulos del cono, esto es, la proporción entre ellos establecida.  

Igualmente es una conceptualización (al menos más aproximada que eso de la 'mantequilla'), pero que refleja claramente como se establece la proporcion entre las dos variables implicadas (distancia y masas, representadas como he dicho por el tamaño), y dado que la constante 'G' es afín a cada sistema, puede omitirse para una explicación teórica sobre un dibujo.