Y yo ya te he dicho en el primer post que he escrito que si te salen los dos mensajes seguidos es porque en alguna parte antes de llamar a tu funcion, has dejado informacion en la entrada. Tambien te he dicho que el codigo que te he dado tienes que usarlo despues de scanf, asi como que si pones despues de fgets los gechar no podras leer los datos de forma correcta (o si, pero sera una tombola).

Tambien te he corregido el hecho de que si pones despues del fgets los getchar, estaras leyendo informacion que no estaras guardando, asi que si te saltan los dos mensajes uno detras de otro poco arreglas leyendo caracteres que no guardas en ninguna parte, lo que estas haciendo es perder datos.

¡Saludos!

Ya lo he solucionado.

Era poniendo getchar(); debajo de

printf("Elija una opcion\n");
    printf("1. Introducir datos\n");
    printf("2. Visualizar nombres de las fichas existentes\n");
    printf("3. Mostrar todos los datos de una persona\n");
    printf("4. Salir");
    scanf("%d",&opcion);
    getchar();

(Se me olvidó ese scanf).

Este es el código que me ha quedado al hacer el programa:

/*  Una agenda que maneje los siguientes datos: nombre, dirección, tlf móvil, email, y día,
    mes y año de nacimiento (estos tres últimos datos deberán ser números enteros
    cortos). Deberá tener capacidad para 100 fichas. Se deberá poder añadir un dato
    nuevo, visualizar los nombres de las fichas existentes, o mostrar todos los datos de una
    persona (se preguntará al usuario cual es el nombre de esa persona que quiere
    visualizar). Al empezar el programa, leerá los datos de un fichero llamado “agenda.dat”
    (si existe). Al terminar, guardará todos los datos en ese fichero. */
 
    #include <stdio.h>
    #include <stdlib.h>
    #include <string.h>
 
    int main()
    {
        struct
        {
          char nombre[10];
          char direccion[15];
          int movil;
          char email[20];
           int dia, mes, ano;
        }datos[100];
        char lineas[500],comprobar[10];
        FILE* fichero;
        int opcion,posicion,tamano,i=0,j,aux;
       int c;
        fichero = fopen("agenda.dat", "r+b");
        if(fichero != NULL)
        {
 
        while(!feof(fichero)) //Leemos los datos que contiene el archivo y los almacenamos en datos[100]
        {
          c=fscanf(fichero,"%s",datos[i].nombre);
          fscanf(fichero,"%s",datos[i].direccion);
          fscanf(fichero,"%d",&datos[i].movil);
          fscanf(fichero,"%s",datos[i].email);
          fscanf(fichero,"%d",&datos[i].dia);
          fscanf(fichero,"%d",&datos[i].mes);
          fscanf(fichero,"%d",&datos[i].ano);
          if(c!=-1)i++; // evita incrementar erroneamente
        }
 
 
       rewind(fichero); 
 
        do
        {
        do
        {
        printf("Fichas guardadas: %i\n",i);
        printf("Elija una opcion\n");
        printf("1. Introducir datos\n");
        printf("2. Visualizar nombres de las fichas existentes\n");
        printf("3. Mostrar todos los datos de una persona\n");
        printf("4. Salir\n");
        scanf("%d",&opcion);
        getchar();
 
        switch(opcion)
        {
          case 1:
               printf("Introduce un nombre: ");
               scanf("%s",datos[i].nombre);
 
               printf("Introduce una direccion: ");
 
               scanf("%s",datos[i].direccion);
               printf("Introduce un movil: ");
               scanf("%d",&datos[i].movil);
               while(getchar() != '\n');
               printf("Introduce correo electronico: ");
 
               scanf("%s",datos[i].email);
               printf("Introduce dia de nacimiento: ");
               scanf("%d",&datos[i].dia);
               while(getchar() != '\n');
               printf("Introduce mes de nacimiento: ");
               scanf("%d",&datos[i].mes);
               while(getchar() != '\n');
               printf("Introduce ano de nacimiento: ");
               scanf("%d",&datos[i].ano);
               i++;
               break;
          case 2:
               for(j=0;j<i;j++)
               {
                 printf("%s\n",datos[j].nombre);
               }
 
 
               break;
          case 3:
              printf("Introduce el nombre de la persona de la que desea visualizar los datos:");
             scanf("%s",comprobar);
              for(j=0;j<i;j++)
              {
                if(strcmp(datos[j].nombre,comprobar)==0)
                {
                  printf("Nombre: %s\n",datos[j].nombre);
                  printf("Direccion: %s\n",datos[j].direccion);
                  printf("Movil: %d\n",datos[j].movil);
                  printf("Email: %s\n",datos[j].email);
                  printf("Dia de nacimiento: %d\n",datos[j].dia);
                  printf("Mes de nacimiento: %d\n",datos[j].mes);
                  printf("Ano de nacimiento: %d\n",datos[j].ano);
                }
              }
               break;
          case 4:
               break;
          default:
                  printf("Opcion no valida!\n");
        }
 
        }while(opcion<1||opcion>4);
 
        }while(opcion!=4);
        }
        aux=i;
        for(i=0;i<aux;i++)
        {
          fprintf(fichero, "%s\n", datos[i].nombre);
          fprintf(fichero, "%s\n", datos[i].direccion);
          fprintf(fichero, "%d\n", datos[i].movil);
          fprintf(fichero, "%s\n", datos[i].email);
          fprintf(fichero, "%d\n", datos[i].dia);
          fprintf(fichero, "%d\n", datos[i].mes);
          fprintf(fichero, "%d\n", datos[i].ano);
          }
       fclose(fichero);
 
        printf("\n\nPulse una tecla para continuar");
        getchar();
        return 0;
    }
 

Saludos.

¡Muchas gracias! Se me olvidó poner eso. Ya lo he añadido.

Saludos.

Gracias por la recomendación.

He estado mirando la página que me has pasado y otras que he encontrado por Internet, y parece muy buena la librería. Todavía no he empezado a usar librerías no incluidas en el compilador, pero cuando termine de leer el manual que estoy siguiendo y de hacer los ejercicios que vienen en él, empezaré a usar librerías que no vienen en el compilador (entre ellas esta que me has pasado).

Saludos y gracias.