No que yo sepa, y aunque exista no será lo suficientemente grande como para almacenar "infinitos dígitos" (hasta que cierres el programa) como tú planteas. La forma más lógica de hacerlo es calcular X dígitos, por ejemplo 10, y guardarlos en un fichero, memoria dinámica u otro medio, calcular los siguientes 10 dígitos y volver a guardarlos y asi sucesivamente, sino te va a ser imposible.

Saludos.

Mmmm... diría que lo que buscas es aritmética bignum, donde se utilizan arrays en los que cada posición es un dígito.

Mira, aquí en la wiki (en inglés, porque la española da penita en los artículos de informática) lo explican y dan algunos links en las referencias para seguir investigando sobre el tema. Lenguajes como Java incorporan de forma estándar bibliotecas para realizar operaciones bignum, pero en C y C++ habría que  incorporar bibliotecas de terceros (como GMP u OpenSSL) o implementar uno mismo funciones para operar con precisión arbitraria.

¡Saludos!

P.S. Por cierto, podrías inventarte una constante y calcular sus dígitos, xD (bastaría con inventarse una serie convergente  ), porque no creo que a estas alturas vayas a batir ningún récord calculando dígitos de Pi >.<