Quiero hacer un programa en C en el que introduzcas una URL y te retorne el código de la web correspondiente en html. Dicho programa no sería ni para Windows ni para Linux, debería ser para el mini-kernel que quiero crear, así que... ¿necesitaría alguna librería en concreto?

Un problema es que supongo que también debería gestionar la red de alguna manera. ¿Cómo debería hacerlo? ¿Tendría que hacer un programa que detectase si hay alguna conexión a Internet y que se conectase?

¿Y si preguntas despues de tener el mini-kernel listo? Cuando soportes placas de red ya podras ir pensando en implementar sockets ...

No, la shell no, necesitas el Kernel y el codigo para inicializar y trabajar con la placa (tarjeta) de red.