Los constructores se pueden sobrecargar, es decir, puedes crear varios dentro de una misma clase teniendo todos el mismo nombre pero diferenciándose en el número o tipo de argumentos.

Lo que has hecho es correcto:

class caballo{
     public:
       caballo(){}
       caballo (int edad){suEdad = edad;}
       ~caballo(){}
     private:
       int suEdad;
};

El compilador tomará el constructor "caballo(){}" como el de defecto, y por lo tanto para llamar a este no hay que poner "caballo objeto()" sino "caballo objeto" (sin paréntesis, ahi tu error).


A diferencia de los constructores, los destructores no se pueden sobrecargar, se crea uno por clase sin argumentos ni valor de retorno y ese es el que hay para destruir todos los objetos.

Te pongo un ejemplo para que veas cuándo se llama a cada cosa:

#include <iostream>
using namespace std;
 
 
class caballo{
     public:
        caballo (int edad)
        {
            cout << "Llamando al constructor 1." << endl;
            suEdad = edad;
        }
 
        caballo ()
        {
            cout << "Llamando al constructor 2." << endl;
        }
 
        ~caballo()
        {
            cout << "Llamando al destructor." << endl;
        }
 
        int obtenerEdad () {return suEdad;};
    private:
        int suEdad;
};
 
int main()
{
    caballo objeto1 (12);
    caballo objeto2;
 
    cout << "Objeto 1: " << objeto1.obtenerEdad() << endl;
    cout << "Objeto 2: " << objeto2.obtenerEdad() << endl;
 
    cin;
    return 0;
}
 

Aqui te lo dejo sin los mensajes para no liarte:

#include <iostream>
using namespace std;
 
 
class caballo{
     public:
        caballo (int edad){suEdad = edad;};
        caballo () {};
        ~caballo(){};
 
        int obtenerEdad () {return suEdad;};
    private:
        int suEdad;
};
 
int main()
{
    caballo objeto1 (12);
    caballo objeto2;
 
    cout << "Objeto 1: " << objeto1.obtenerEdad() << endl;
    cout << "Objeto 2: " << objeto2.obtenerEdad() << endl;
 
    cin;
    return 0;

Saludos.