yo pondria una variable en la URL que apunta el botón, puede ser el id del registro en cuestión. luego de diria que se actualize el registro en la base de datos. EJ

<a href='script_maneja_db.php?notificaciones_id={$notificaciones_id}'><img src="boton.png"</a>

y en el archivo "'script_maneja_db.php"

noti_id = $_GET["notificaciones_id"];
include_once "conecta_db";    //O sea, asumimos que ya nos conectamos a la base de datos;
mysqli->query{"UPDATE notificaciones SET leido = 'si' WHERE notificaciones_id = '$noti_id'"};
 

bueno, demas esta decir que es mucho mejor usar el campo donde tienes el indice, si es que lo declaraste UNIQUE. Además la seguridad va por tu cuenta 

Por favor avísame si no entendí bien tu duda o si metí la pata
Saludos