Pero me sigue compilando el proyecto como si fuese de otra versión...
¿Qué te hace pensar eso?, no es así. En el nuevo log ya no aparece ningún error de versión incorrecta de MSBuild/ToolsVersion precisamente por que ahora estás utilizando la versión apropiada, la versión que está especificada en la propiedad ToolsVersion del archivo csproj, la versión 15.0. Y no, si cambiases "15.0" por "14.0" en el archivo csproj no ibas a conseguir nada bueno, por que como ya digo la estructura de los nuevos csproj/vbproj ha cambiado, hay nuevas propiedades y Microsoft lo ha simplificado bastante eliminando otras, así que la versión 14.0 no creo que fuese capaz de parsear/reconocer la nueva sintaxis del esquema de configuración de proyecto de VS2017. Quizás pudiera compilarlo de todas formas omitiendo esas nuevas propiedades, no lo sé, pero sea como sea no parece muy buena idea usar una versión inferior de MSBuild a la que te está pidiendo...
Por curiosidad, si asumimos que ese proyecto ha sido desarrollado bajo VS 2017 RC (puesto que se supone que compila para NetFX 4.6.2 y en el archivo csproj está especificado el ToolsVersion 15.0), ¿entonces por que lo tienes en el directorio de proyectos de VS2015 (...\Documents\Visual Studio 2015\Projects\Lerp2API\Project\Lerp2Console\Lerp2Console.csproj)?. ¿Estás seguro que no has trasteado más de la cuenta con ese proyecto y tal vez lo hayas podido acabar "estropeando" en general?.
EDITO: ¿O a lo mejor lo que ocurre es que en tu solución tienes el proyecto principal desarrollado en VS2015 que pide la versión 14.0 de MSBuild, y luego en esa misma solución tienes un proyecto referenciado (JSON.NET) que está pidiendo la versión 15.0 de MSBuild, lo has comprobado?.
Los errores de compilación empiezan a partir de la linea 3295 en el último log que has compartido:
Newtonsoft.Json\Converters\ExpandoObjectConverter.cs(30,14): error CS0234: El tipo o el nombre del espacio de nombres 'Dynamic' no existe en el espacio de nombres 'System' (¿falta alguna referencia de ensamblado?) [C:\Users\Usuario\Documents\Visual Studio 2015\Projects\Lerp2API\Project\Lerp2Console\Lerp2Console.csproj]
Esos errores como ya te habrás dado cuenta también aparecían en el otro log, pero cabía la posibilidad de que todo pudiera ser consecuencia de no estar usando la versión 15.0 de MSBuild puesto que ese era el primer error y el error principal. En fin, por lo visto eso no ha solucionado el resto de errores...
Esos errores son bastante auto-descriptivos, al parecer no se puede encontrar "X" miembro por la ausencia de la referencia al ensamblado correspondiente, sin embargo, en este escenario no le encuentro sentido, puesto que al parecer según lo que veo en el log se está referenciando la versión correspondiente del ensamblado System.dll el cual contiene el espacio de nombres Dynamic (System.Dynamic), el que dice que no encuentra (entre otros)... pues no se por qué.
Prueba a intentar compilar ese proyecto llamando al devenv.com por linea de comandos (o a devenv.exe si prefieres usar la UI) de VS 2017 RC.
EDITO: O pásame el proyecto por mensaje privado y miro a ver si doy con lo que esté fallando....
Saludos!