La forma más barata y accesible.

Móntatelo en local.

Si piensas hacerlo en windows, tira de xampp:
http://www.apachefriends.org/es/xampp.html

Si vas a hacerlo en Linux, haz una instalación LAMP:
http://community.linuxmint.com/tutorial/view/486

El nombre de dominio trátalo con NO-IP:
http://www.noip.com/

Te montas el foro y no olvides de mapear puertos en el router.

No podrás tener mucha afluencia de tráfico si tu red de casa no es muy buena, pero puede ser una manera de empezar.

Otra alternativa son los hosting gratuitos, pero muchas veces vienen con demasiada publicidad añadida y cosas por el estilo.

Como principiante, te recomiendo Foroactivo,  tiene un servicio de ayuda muy buena, es sencillo y completo, yo al igual que tu estoy creando un foro, y antes de pasar por otros métodos, tuve un foro en foroactivo y la experiencia fue excelente, para empezar te lo recomiendo.

La única pega que el veo es el posterior traspaso.

Si tiras de la opción de foros gratis en plan creatuforo o foroactivo, no sé hasta qué punto serás capaz de luego traspasar todo el contenido de tu foro al nuevo.

Esas opciones de lo que llamo "foros precocinados" son magníficas para gente que no tiene los conociemientos o el tiempo para montarse algo un poco más personalizado, pero son poco flexibles a la larga.

Ya que este tema está en la categoría de Desarrollo Web, había considerado que el interés era crear el foro de forma personalizada más que utilizar un "precocinado". Igual consideré mal...

Te dejo opciones que conozco de foros "precocinados" gratuitos:

www.creatuforo.es
foros.miarroba.es
www.superforos.com
www.foros.net
www.foroactivo.com

La verdad que hay cientos más... si no te convence ninguno de estos, busca otros, hay muchos.

Pequeños detalles sobre mi experiencia propia (como moderador) de un foro hecho con creatuforo:
Cuando hay por encima de unos... 10 usuarios conectados a la vez, creatuforo empieza a ir lento. A veces hasta el punto que el usuario llega a ver ventanas de error por sobrecarga de los servidores. Esto no es porque realmente 10 users sobrecarguen el foro, sino que es un límite impuesto. Los niveles de publicidad en creatuforo son bastante altos, y suelen salir en forma de popups flash, que en algunos casos, congelan las máquinas que utilizan Mozilla Firefox.
Un pequeño punto positivo, sin embargo, es que tus usuarios no pueden poner imágenes excesivamente grandes. El foro las redimensiona automáticamente a un thumbnail mas pequeñito si se pasa de un tamaño máximo. Esto es configurable en el panel de administración.

Pequeños detalles sobre mi experiencia propia (como moderador) de un foro hecho con foroactivo:
En el caso de este, tira fluido. Eso sí, si te pones a cargar muchas imágenes externas hay veces que el topic no llega a cargar. En otros casos puede que hasta devuelva al usuario un mensaje de error.
También he visto el caso de imágenes anchas deformando la interfaz a un punto de hacer complicado ver dónde acaba un post y comienza otro. De usar este, tienes que limitar el tamaño de las imágenes que tus users puedan postear, y ya que este tipo no tiene ningún control automático de redimensión, tendrás que moderarlo manualmente.