_Vaya, me parece que el chico ha pedido respuesta con integrales y hasta ahora no veo ninguna "S"

De manera que trataré de explicarlo en términos sencillos

El número Pi resulta, como bien han mencionado muchos de ustedes, de nuestra insistencia de medir la longitud de la circunferencia, lo que es mas, de saber tambien su área.
Los primeros intentos por calcular este tipo de cosas se encuentran ya en documentos como el papiro de Rhind, en el que Pi era aproximado como 64/81.
La historia del desarrollo de Pi es un tema facinante, pero exigiría mas espacio que el que justifica resolver una pregunta. Leer dicha historia tal vez ayudaría a aliviar la desilución que la mayoría siente cuando se encuentra con lo siguiente en el libro de cálculo (o análisis, donde quiera):
mmmm bueno, esto no es derive, asi que escribire textualmente la expresión

Pi= 2 veces la integral de menos uno a uno de la función raiz cuadrada  de uno menos equis cuadrada, en dx

Ahora bien, todo este asunto de rectas, circulos, polígonos con cantidad de lados que tienden al infinito son apenas poco más que juegos mentales que parten de ciertas reglas a las que los matemáticos llaman "axiomas". Bueno, pues uno de esos axiomas (basados en el hecho de que queremos que pi por radio al cuadrado sea el area del circulo, o que 2pi por diametro sea la longitud del circulo entero) resulta ser el valor de Pi. Pi es eso, por definición. Esto no se demuestra.
Que Pi valga algo así como 3.14, 3.1416, 3.1415927... es un resultado obtenido mediante aproximaciones, aproximaciones encaminadas a dar un valor numérico a la integral. Espero que esto ayude un poco.
Por cierto, mi fuente es el Calculus, de Spivak.