Ya me puse a escribir bien al respecto y he actualizado el post:

Esquema de Shamir – Cómo compartir un secreto

En el artículo “How to Share a Secret” escrito por Adi Shamir, plantea un esquema de compartición de secretos mediante el empleo de interpolación polinomial, en el artículo  Shamir hace referencia al siguiente problema:

“Once científicos trabajan en un proyecto secreto. Ellos desean resguardar documentos en una caja, de tal manera que ésta podrá ser abierta, si y sólo si, seis o más de los científicos se encuentran presentes. ¿Cuál es la cantidad mínima de cerraduras son necesarias para resolver el problema?, ¿Cuál es la cantidad mínima de llaves que tienen que resguardar cada científico?”

Para resolver el problema anterior, se emplearían 462 cerraduras y 252 claves, es claro que no es una forma práctica para solucionar lo anterior.

El esquema planteado define la manera de dividir un secreto D en n piezas, de tal manera que D sea fácilmente reconstruible teniendo k piezas, pero aun teniendo k-1 piezas no revelaría información alguna a cerca del secreto.

El esquema de umbral (k,n)

Dados k puntos en el plano bidimensional (x1, y1), …, (xk, yk) con distintos xi, existe uno y sólo un polinomio q(x) de grado k-1 de tal manera que q(xi) = yi para toda i. Se puede asumir la idea que el secreto D es un número (o podemos convertirlo a número). Para dividir en piezas Di, se elige un polinomio al azar de grado k-1
q(x) = a0 + a1x + … + ak-1 xk-1 donde a0 = D, y evaluar:
D1 = q(1), …, Di = (qi), …, Dn = q(n).

Dados cualquier subgrupo k (k puntos) de los Di valores, se puede encontrar los coeficientes de q(x) mediante la interpolación, y posteriormente hacer la evaluación D = q(0). Conociendo k-1 de esos valores no será suficiente para calcular D.

Para obtener más precisión, se puede emplear la aritmética modular. El conjunto de enteros en modulo p (donde p es primo) forma un campo en el cual la interpolación es posible.


Les dejo un enlace de wikipedia para que puedan reviasar un ejemplo:
http://es.wikipedia.org/wiki/Esquema_de_Shamir